MATEMÁTICAS II

HISTORIA DE LAS MATEMATICAS

Matemática o Matemáticas, es el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

En el pasado la matemática era considerada como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra).

Hacia mediados del siglo XIX la matemática se empezó a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

TEOREMA DE RECTAS PARALELAS

- ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son dos ángulos interiores con diferentes vértices en lados opuestos de la transversal.

- ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son dos ángulos exteriores con diferentes vértices en lados opuestos de la transversal.

- ANGULOS CORRESPONDIENTES: Los angulos correspondientes estan en el mismo lado de la transversal. Uno de los angulos es un angulo exterior, el otro es un angulo interior.

TEOREMAS

1. Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

2. Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

3. Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas. correspondientes

4. Si dos rectas se cortan por una transversal, y un par de ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.

5. Dadas las rectas p,q y r, si p ll q y q ll r, entonces p ll r.

6. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.

7. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos exteriores son congruentes.

8. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos son congruentes.

9. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios.

ANGULOS

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radian, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

* CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Tipo	Descripción
Ángulo nulo	Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo	Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de ${\frac {\pi }{2}}$ rad. Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (g rados sexagesimales), o menor de 100^g (grados centesimales).
Ángulo recto	Un ángulo recto es de amplitud igual a ${\frac {\pi }{2}}$ Es equivalente a 90° sexagesimales Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso	Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a ${\frac {\pi }{2}}$ menor a $\pi \,$ Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales
Ángulo llano, extendido o colineal	El ángulo llano tiene una amplitud de $\pi \,$ Equivalente a 180° sexagesimales
Ángulo oblicuo	Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto. Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
Ángulo completo o perigonal	Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de $2\pi \,$ Equivalente a 360° sexagesimales

* TEOREMAS DE ÁNGULOS

- Teorema I: Dos ángulos adyacentes son suplementarios.

- Teorema II: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

- Teorema III: Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 180°.

- Teorema IV: La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, suman 360°.

- Teorema V: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales.

- Teorema VI: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos iguales.

- Teorema VII: Dos ángulos conjugados internos, entre paralelas, son suplementarios.

- Teorema VIII: Los ángulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios.

- Teorema IX: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido, son iguales.

- Teorema X: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrario, son iguales.

- Teorema XI: Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos de ellos dirigidos en el mismo sentido, y los otros dos en sentido contrario, dichos ángulos son suplementarios.

- Teorema XII: Dos ángulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son iguales.

- Teorema XIII: Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son suplementarios.

- Teorema XIV: Dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares, son iguales.

* EJEMPLOS DE CALCULO DE ÁNGULOS EN DISTINTAS FORMAS GEOMÉTRICAS

Mida dos ángulos de un triángulo, escriba cada medida. Por ejemplo, dos de los ángulos de un triángulo podrían ser de 55 grados y 25 grados.

Sume las dos medidas, 55 + 25 = 80 grados, el total de los dos ángulos medidos.

Paso 3 de 4 - <p>Reste el total de los dos ángulos conocidos a 180 grados, por lo tanto 180-80 = 100 grados. El resultado de 100º es la medida del tercer ángulo que era el <strong>angulo desconocido.</strong></p>

Reste el total de los dos ángulos conocidos a 180 grados, por lo tanto 180-80 = 100 grados. El resultado de 100º es la medida del tercer ángulo que era el angulo desconocido.

Otro ejemplo podría ser el siguiente:

Si conocemos los os ángulos de un triángulo como el de la imagen que son de 125 y 30 grados, para encontrar el tercer ángulo del triángulo tenemos que sumar los valores conocidos, 125+30= 155, y luego restar el resultado anterior a 180. Por lo tanto el tercer ángulo es de 180-155= 25 grados.

TRIANGULO

Un triángulo, es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

* CLASIFICACIÓN DE TRIANGULOS

Los triángulos se pueden clasificar según:

Las medidas de sus lados

Las medidas de sus ángulos

- Según las medidas de sus lados pueden ser, triángulo:

Equilátero

Isósceles

Escaleno

Triángulo equilátero: Es el que tiene sus tres lados de igual medida y sus tres ángulos de igual medida, cada uno de los cuales mide 60º.

Los lados a, b y c tienen igual medida.

Esto se puede escribir también de la siguiente manera:

AB = BC = CA

Recuerda que siempre la letra que está en el medio indica el vértice donde se ubica el ángulo.

Triángulo isósceles: Es el que tiene dos lados de igual medida, por lo tanto, tiene dos ángulos de igual medida.

trazo AB = trazo AC

∠ ABC = ∠ BCA

Triángulo escaleno: Es el que tiene todos sus lados de distinta medida y, por lo tanto, sus ángulos también son de distinta medida.

- Según la medida de sus ángulos, un triángulo puede ser:

Triángulo acutángulo: Es el que tiene sus tres ángulos agudos; es decir, sus ángulos miden más de 0º y menos de 90º.

Triángulo rectángulo: Es el que tiene un ángulo recto; es decir, un ángulo mide 90º

∠ CAB = 90º

Triángulo obtusángulo: Es el que tiene un ángulo obtuso; o sea, un ángulo que mide más de 90º y menos de 180º.

∠ CAB obtuso (mayor que 90º y menor que 180º)

* TEOREMAS DE TRIÁNGULOS

- Teorema 1: Relación entre lados

En todo triangulo cada lado es menor que la suma de los otros dos.

$a<b+c$

$b<a+c$

$c<a+b$

- Teorema 2: Relación entre ángulos

En todo triángulo la suma de sus ángulos (interiores) es igual a 180°.

$alpha+beta+gamma=180^{o}$

- Teorema 3: Teorema de Pitágoras

En todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

$a^2=b^2+c^2$

TEOREMA DE TRIÁNGULOS CONGRUENTES

OBSERVAR:

Cuando se cumplen estas dos condiciones se dice que los triángulos son congruentes; esta palabra (congruente) se simboliza o representa con el símbolo

Se dice que un Δ ABC es congruente con otro Δ DEF si sus lados respectivos son iguales y sus ángulos respectivos también lo son.

Para expresar en lenguaje matemático que los dos triángulos de la izquierda son congruentes, se usa la siguiente simbología:

Al observar los triángulos de la figura puede apreciarse que tienen lados respectivamente congruentes, que son:

También tienen ángulos respectivamente congruentes:

Entonces es posible afirmar que

Al revés: si dos o más triángulos son congruentes, sus lados y ángulos lo serán respectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus vértices para nombrarlos, salvo que gráficamente se indique otra correspondencia.

Si, por ejemplo, tenemos Δ ABR Δ CDS, sus lados respectivamente congruentes serán: