MATEMÁTICAS II

TEOREMA DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Dos triángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes propiedades:

a) Todos sus lados son proporcionales

Vemos que los lados del ejemplo guardan la misma proporción:

Lado A / Lado A’ = 6 / 3 = 2

Lado B / Lado B’ = 6,4 / 3,4 = 2

Lado C / Lado C’ = 5 / 2,5 = 2

b) Tienen los tres ángulos iguales

Estos dos ángulos tienen los tres ángulos iguales.

c) Un ángulo igual y los dos lados que se inician en dicho vértice son proporcionales

Estos dos ángulos tienen el ángulo C igual (30º) y los dos lados que se inician en dicho vértice son proporcionales.

Lado A / Lado A’ = 8 / 4 = 2

Lado B / Lado B’ = 9 / 4,5 = 2

d) Dos triángulos en posición de Tales son semejantes

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SEMEJANTES

Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes propiedades:

a) Tienen un ángulo agudo igual y uno de los catetos proporcionales

En ambos triángulos un lado agudo mide 40º. Como el ángulo recto mide 90º, el otro ángulo agudo tiene que medir 50º ya que en cualquier triángulo la suma de sus tres ángulos siempre es 180º.

b) Tienen los dos lados catetos proporcionales

Lado A / Lado A’ = 4 / 2 = 2

Lado B / Lado B’ = 7 / 3,5 = 2

Al tener los dos lados catetos proporcionales, como el ángulo recto que forman mide 90º, cumple uno de los requisitos que vimos para que dos triángulos fueran semejantes.

c) Tienen un cateto y la hipotenusa proporcionales

Lado A / Lado A’ = 8 / 6 = 1,33

Lado B / Lado B’ = 4 / 3 = 1,33

Aplicando el Teorema de Pitágoras podemos calcular la longitud de los catetos que desconocemos.

- EJERCICIO

Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

TEOREMA DE TALES DE MILETO

Existen dos teoremas en relación a la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

Según parece, Tales descubrió los teoremas mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el corolario.

- Corolario: La existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados.

- EJERCICIOS

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la longitud de x.

2.Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

Una aplicación inmediata de este teorema sería la división de un segmento en partes iguales, o en partes proporcionales a números dados

TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la

suma de los cuadrados de los catetos".

Pitágoras de Samos