TEOREMA DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Dos triángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes propiedades:

a) Todos sus lados son proporcionales

                   

Vemos que los lados del ejemplo guardan la misma proporción:

Lado A / Lado A’ = 6 / 3 = 2

Lado B / Lado B’ = 6,4 / 3,4 = 2

Lado C / Lado C’ = 5 / 2,5 = 2

b) Tienen los tres ángulos iguales

Estos dos ángulos tienen los tres ángulos iguales.

 c) Un ángulo igual y los dos lados que se inician en dicho vértice son proporcionales

                          

Estos dos ángulos tienen el ángulo C igual (30º) y los dos lados que se inician en dicho vértice son proporcionales.

Lado A / Lado A’ = 8 / 4 = 2

Lado B / Lado B’ = 9 / 4,5 = 2

d) Dos triángulos en posición de Tales son semejantes

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SEMEJANTES

Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes propiedades:

a) Tienen un ángulo agudo igual y uno de los catetos proporcionales

                        

 En ambos triángulos un lado agudo mide 40º. Como el ángulo recto mide 90º, el otro ángulo agudo tiene que medir 50º ya que en cualquier triángulo la suma de sus tres ángulos siempre es 180º.

 b) Tienen los dos lados catetos proporcionales

       

Lado A / Lado A’ = 4 / 2 = 2

Lado B / Lado B’ = 7 / 3,5 = 2

Al tener los dos lados catetos proporcionales, como el ángulo recto que forman mide 90º, cumple uno de los requisitos que vimos para que dos triángulos fueran semejantes.

c) Tienen un cateto y la hipotenusa proporcionales

                         

Lado A / Lado A’ = 8 / 6 = 1,33

Lado B / Lado B’ = 4 / 3 = 1,33

Aplicando el Teorema de Pitágoras podemos calcular la longitud de los catetos que desconocemos.

- EJERCICIO

Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?